Question

（12分）已知圓及定點，點Q是圓A上的動點，點G在BQ上，點P在QA上，且滿足，=0．
（I）求P點所在的曲線C的方程；
(II)過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，直線與y軸交于E點，若為定值。

Answer 1

（I）+y²=1；（ⅡI）見解析．

（1）由，=0得垂直平分線段，
即，所以，根據(jù)橢圓的定義得曲線C的方程；
（2）利用點M、N在橢圓上，，可得到，
．，是方程的兩個根，∴ ．
也可以設出直線  的方程，與橢圓  的方程聯(lián)立，求出，．由，可得到，整理
∵，=0∴垂直平分線段，
即，所以，由橢圓定義：
曲線C的方程為+y²=1            5分
（Ⅱ）證法1：設點的坐標分別為，
又易知點的坐標為．且點B在橢圓C內(nèi),故過點B的直線l必與橢圓C相交．
∵，∴．
∴ ，．       7分
將M點坐標代入到橢圓方程中得：，
去分母整理，得．           10分
同理，由可得：．
∴ ，是方程的兩個根，
∴ ．                 12分
（Ⅱ）證法2：設點的坐標分別為，又易知點的坐標為．且點B在橢圓C內(nèi),故過點B的直線l必與橢圓C相交．
顯然直線  的斜率存在，設直線  的斜率為 ，則直線  的方程是 ．
將直線  的方程代入到橢圓  的方程中，消去  并整理得
．  8分
∴ ，．
又 ∵，
則．∴，
同理，由，∴．             10分
∴．  12分