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已知數列{an}是正數組成的數列，其前n項和為Sn，對于一切n∈N*均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．
（1）計算a1，a2，a3，并由此猜想{an}的通項公式an；（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想．
（1）由
an+2
2
=
2Sn
得Sn=
(an+2)2
8
可求得a1=2，a2=6，a3=10，…（5分）
由此猜想{an}的通項公式an=4n-2（n∈N+）．…（7分）
（2）證明：①當n=1時，a1=2，等式成立；…（9分）
②假設當n=k時，等式成立，即ak=4k-2，…（11分）
∴ak+1=Sk+1-Sk=
(ak+1+2)2
8
-
(ak+2)2
8

∴（ak+1+ak）（ak+1-ak-4）=0，又ak+1+ak≠0
∴ak+1-ak-4=0，
∴ak+1=ak+4=4k-2+4=4（k+1）-2
∴當n=k+1時，等式也成立．…（13分）
由①②可得an=4n-2（n∈N+）成立．…（15分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知復數，(其中為虛數單位)
（1）當復數是純虛數時，求實數的值；
（2）若復數對應的點在第三象限，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知數列{an}中，a1=1，且an=
n
n-1
an-1+2n•3n-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）寫出數列{an}的通項公式，并用數學歸納法證明．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

函數數列{fn（x）}滿足：f1（x）=
x
1+x2
（x＞0），fn+1（x）=f1[fn（x）]．
（Ⅰ）求f2（x），f3（x）；
（Ⅱ）猜想fn（x）的解析式，并用數學歸納法證明．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

對于數列{An}：A1，A2，A3，…，An，若不改變A1，僅改變A2，A3，…，An中部分項的符號，得到的新數列{an}稱為數列{An}的一個生成數列．如僅改變數列1，2，3，4，5的第二、三項的符號可以得到一個生成數列1，-2，-3，4，5．已知數列{an}為數列{
1
2n
}(n∈N*)的生成數列，Sn為數列{an}的前n項和．
（1）寫出S3的所有可能值；
（2）若生成數列{an}的通項公式為an=
1
2n
，n=3k+1
-
1
2n
，n≠3k+1
，k∈N，求Sn；
（3）用數學歸納法證明：對于給定的n∈N*，Sn的所有可能值組成的集合為：{x|x=
2m-1
2n
，m∈N*，m≤2n-1}．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

復數滿足：（是虛數單位），則復數在復平面內位于（    ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

（2013•湖北）i為虛數單位，設復數z1，z2在復平面內對應的點關于原點對稱，若z1=2﹣3i，則z2=　_________　．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數，對任意均滿足，當且僅當時等號成立。
（1）若定義在(0，＋∞)上的函數∈M，試比較與大小.
（2）設函數g(x)＝－x2，求證：g(x)∈M.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知，，。求證中至少有一個不小于0。

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