Question

已知

3π

2

＜α＜2π，化簡

1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 cos2α

的值是（　　）

• A．sin

  α

  2

• B．cos

  α

  2

• C．-cos

  α

  2

• D．±cos

  α

  2

Answer 1

分析：由α的范圍求出

α

2

的范圍，進而判斷出cosα與cos

α

2

的正負，然后把所求式子中的

1 2 + 1 2 cos2α

提取

1

2

，利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用二次根式的化簡公式

a2

=|a|進行化簡，由cosα的值為正數，根據正數的絕對值等于它本身化簡，然后把化簡后的式子代入所求式子中，再提取

1

2

，利用二倍角的余弦函數公式及二次根式的化簡公式

a2

=|a|進行化簡，并根據cos

α

2

的值為負數，利用負數的絕對值等于它的相反數進行化簡，即可得到最簡結果．

解答：解：∵

3π

2

＜α＜2π，
∴cosα＞0，
∴

1 2 + 1 2 cos2α

=

1 2 (1+cos2α)

=

cos2α

=|cosα|=cosα，
又

3π

4

＜

α

2

＜π，∴cos

α

2

＜0，
則

1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 cos2α

=

1 2 + 1 2 cosα

=

1 2 (1+cosα)

=

cos2 α 2

=|cos

α

2

|=-cos

α

2

．
故選C

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，二次根式的化簡公式，以及余弦函數的圖象與性質，熟練掌握公式是解本題的關鍵．