Question

已知函數(shù) 
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）當(dāng)m為何值時，不等式 恒成立？
（3）證明：當(dāng)時，方程內(nèi)有唯一實根．
（e為自然對數(shù)的底；參考公式：．）

Answer 1

（1）內(nèi)是減函數(shù)，在（1－m，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)等于1－m時，函數(shù)有極小值1－m．（2）m≤1．（3） 詳見解析.

解析試題分析：（1）求導(dǎo)即得.（2）要不等式 恒成立，只需的最小值≥0即可.（3） 要證明方程內(nèi)有唯一實根，需要證明以下兩點：第一、在上是單調(diào)函數(shù)，第二、.
試題解析：（1）．
∵         2分
∴內(nèi)是減函數(shù)，在（1－m，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)等于1－m時，函數(shù)有極小值1－m．                          4分
（2）由（1）知，在定義域內(nèi)只有一個極值點，所以的最小值就是1－m，從而當(dāng)1－m≥0時，不等式≥0恒成立                6分
故所求的實數(shù)m的取值范圍是m≤1．                     8分
（3）∵m>1，．                 9分
又               10分
∵

∴．                           12分
根據(jù)第1小問的結(jié)論，在（1－m，+∞）內(nèi)是增函數(shù),因此，方程在區(qū)間內(nèi)有唯一的實根              13分
考點：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)的零點（方程的根）；3不等式.