Question

 已知直線l：(2m+1)x+(m+1)y=7m+5，圓C：x²+y²-6x-8y+21=0.

⑴求證：直線l與圓C總相交；

⑵求相交弦的長的最小值及此時m的值．     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 ⑴ 直線l的方程可變形為：（2x+y-7）m +（x+y-5）=0, 。。。。。。。。。。。。1分

令得，即直線l過定點P（2，3）. 。。。。。。。。。。。3分

圓C：x²+y²-6x-8y+21=0   即(x-3)²+(y-4)²=4。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

圓心C（3，4）半徑r =2

∵ |CP|=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

∴點P（2，3）在圓C內，則直線l與圓C總相交.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分

⑵ 圓心C（3，4），  P（2，3）        

當CP⊥直線l時和定點（2，3），弦長最短。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

∵|CP|=，r =2         ∴弦長|AB|=。。。。。。。。。。。。10分

此時，    ∴，

則       ∴；   。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分