Question

已知函數f(x)=

( 1 2 ) x+1，x≤0 - 4x+3   ，0＜x≤1 log 1 2 (x-1)   ，x＞1

（1）畫出函數y=f（x）的簡圖（要求標出關鍵的點、線）；
（2）結合圖象，求當f（x）＞1時，x的取值范圍；
（3）觀察圖象，若關于x的方程f（x）=t有兩個解，求實數 t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據指數函數的圖象和性質，一次函數的圖象和性質及對數函數的圖象和性質，進而根據分段函數分段畫的原則，可得函數y=f（x）的簡圖；
（2）令-4x+3=1得x=

1

2

；令log

1

2

(x-1)=1得x=

3

2

，進而根據（1）中圖象，可得當f（x）＞1時，x的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=t有兩個解，即函數y=f（x）的圖象與直線y=t只有兩個交點，進而根據（1）中圖象，可得實數 t的取值范圍．

解答：解：（1）函數f(x)=

( 1 2 )x +1，x≤0 -4x+3，0＜x≤1 log 1 2 (x-1)，x＞1

的圖象如下圖所示：

（2）因為(

1

2

)x+1＞1恒成立；
令-4x+3=1得x=

1

2

；
令log

1

2

(x-1)=1得x=

3

2

結合圖象觀察，f（x）＞1時的x的取值范圍是：x＜

1

2

或1＜x＜

3

2

（3）觀察圖象知，方程f（x）=t有兩個解等價于
函數y=f（x）的圖象與直線y=t只有兩個交點．
所以實數 t的取值范圍是-1≤t＜2或t≥3

點評：本題考查的知識點是分段函數的圖象，熟練掌握指數函數的圖象和性質，一次函數的圖象和性質及對數函數的圖象和性質，是解答的關鍵．