Question

已知在函數f（x）=mx³-x的圖象上以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為

π

4

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a有三個不同實根，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-2011，對x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可得

f(1)=n f′(1)=1

，代入可求m，n
（II）由（I）可求f（x），對函數求導，結合導數可判斷函數的單調區間進而可求函數的極值，結合函數的性質可求
（III）只須求得y=f（x）在[-1，3]上的最大值，由（II）中的極值域區間端點的函數值進行比較即可，從而可求k的范圍

解答：解：（I）f'（x）=3mx²-1…（2分）
由題意可得

f(1)=n f′(1)=1

∴

m-1=n 3m-1=1

∴

m= 2 3 n=- 1 3

（2分）
（II）f（x）=

2x3

3

-x，f′（x）=2x²-1
由f′（x）=2x²-1＞0可得x＞

2

2

或x＜-

2

2

由f′（x）=2x²-1＜0可得-

2

2

＜x＜

2

2

∴函數f（x）在（-∞，-

2

2

），（

2

2

，+∞）單調遞增，在（-

2

2

，

2

，2

）單調遞減（2分）
∴f(-

2

2

)=

2

3

(-

2

2

)3-(-

2

2

)=-

2

6

+

2

2

=

2

3

f(

2

2

)=

2

3

×(

2

2

)3-

2

2

=

2

6

-

2

2

=-

2

3

（2分）
依題意  a∈(-

2

3

，

2

3

)
（III）只須求得y=f（x）在[-1，3]上的最大值
由（II）可得，f(-

2

2

)=

2

3

，＜f(3)=

2

3

×33-3=18-3=15…（1分）
∴函數在[-1，3]上的最大值f（3）=15
∴k-2011≥15
∴k≥2026…（1分）
∴k_min=2026…（1分）

點評：本題主要考查了函數的導數的基本應用；利用導數的幾何意義求解參數，利用導數求解函數的單調區間、函數的極值與函數的最值，屬于函數知識的綜合應用．