Question

已知a為常數，求函數f（x）=x³-3ax（0≤x≤1）的最小值．

Answer 1

分析：求函數f（x）=x³-3ax的導數，對方程f′（x）=3（x²-a）=0有無實根，和有根，根是否在區間[0，1]內進行討論，求得函數的極值，再與f（0）、f（1）比較大小，確定函數的最小值．

解答：解：f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
（1）若a≤0，則f′（x）=3（x²-a）≥0，此時函數f（x）單調遞增，
故當x=0時，f（x）的最小值f（x）_min=f（0）=0．（2分）
（2）若a＞0，令f′（x）=3（x²-a）=0，
解得x=±

a

．∵x∈[0，1]，則考慮x=

a

的情況，如表所示　（3分）
①若0＜

a

＜1即0＜a＜1時，則有

x	0	(0， a )	a	( a ，1)	1
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	單調遞減	-2a a	單調遞增	1-3a

（5分）
當x=

a

時，f（x）有最小值f(x)min=f(

a

)=-2a

a

；（7分）
②若

a

≥1，即a≥1時，函數f（x）在[0，1]上是減函數，
∴當x=1時，f（x）有最小值f（x）_min=f（1）=1-3a．（10分）
綜上可知：當a≤0時，x=0，f（x）有最小值0
當0＜a＜1時，x=

a

，f(x)有最小值-2a

a

，
當a≥1時，x=1，f（x）有最小值1-3a．（12分）

點評：考查利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，對方程f′（x）═0有無實根，和有根，根是否在區間[0，1]內進行討論，體現了分類討論的思想方法，增加了題目的難度，屬中檔題．