Question

已知a為常數，求函數f（x）=-x³+3ax（0≤x≤1）的最大值．

Answer 1

分析：求函數f（x）=-x³+3ax的導數，對方程f'（x）=-3（x²-a）=0有無實根，和有根，根是否在區間[0，1]內進行討論，求得函數的極值，再與f（0）、f（1）比較大小，確定函數的最大值．

解答：解：f'（x）=-3x²+3a=-3（x²-a）
若a≤0，則f'（x）=-3（x²-a）≤0，此時函數f（x）單調遞減，
所以當x=0時，f（x）取得最大值，f（x）_max=f（0）=0
若a＞0，令f'（x）=-3（x²-a）=0，解得x=±

a

，
∵x∈[0，1]，則只考慮x=

a

的情況，如表所示：

①當0＜a＜1時，根據函數的增減性得，
當x=

a

時，f（x）有最大值，f（x）_max=f（

a

）=2a

a

；
②當

a

≥1，即a≥1時，根據函數的增減性得
當x=1時，f（x）有最大值．f（x）_max=f（1）=3a-1．
綜合以上可知：
當a≤0時，x=0，f（x）有最大值0；
當0＜a＜1時，x=

a

，f（x）有最大值2a

a

；
當a≥1時，x=1，f（x）有最大值3a-1．

點評：考查利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，對方程f'（x）═0有無實根，和有根，根是否在區間[0，1]內進行討論，體現了分類討論的思想方法，增加了題目的難度，屬中檔題．