Question

已知函數 f (x) = x³ －(l－3)x² －(l +3)x + l －1（l > 0）在區間[n, m]上為減函數，記m的最大值為m₀，n的最小值為n₀，且滿足m₀-n₀ = 4．

（1）求m₀，n₀的值以及函數f (x)的解析式；

（2）已知等差數列{x_n}的首項．又過點A(0, f (0))，B(1, f (1))的直線方程為y=g(x)．試問：在數列{x_n}中，哪些項滿足f (x_n)>g(x_n)？

（3）若對任意x₁，x₂∈ [a, m₀]（x₁≠x₂），都有成立，求a的最小值．

Answer 1

（1） m₀ = 3，n₀ = -1

（2）當n< 91或n > 191（n∈N*）時，滿足題意．

（3）a的最小值為1．

解析:

（1），

由題意可知m₀，n₀為方程f ′(x) = 0的兩根．

∴其中m₀ > n₀．

∵m₀-n₀ = 4，∴= 4，即= 0．

解得l = 6或l = -3，∵l > 0，∴l = 6, ∴f (x) = x³ - 3x² - 9x + 5．

同時可解得：m₀ = 3，n₀ = -1

（2）由（Ⅰ）得A(0, 5)，B(1, -6)，∴g(x) = -11x + 5．

∴===．

∵>0，∴．

由題意，得．

若，則，∴n < 91．

若，則，∴n > 191．

∴當n< 91或n > 191（n∈N*）時，滿足題意．

（3）由(1)有及l = 6, 易解得m₀ = 3，n₀ = -1.

=-

=+=． 

由題意，< 0恒成立，∴恒成立．

∵m₀ = 3，∴a≤x₁<x₂≤3．∴．

要使恒成立，只要2a≥2，即a≥1．∴a的最小值為1．