Question

已知n次多項式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整數．記S_n（x）的展開式中x的系數是a_n，x²的系數是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）證明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比數列{c_n}和正數c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）對任意正整數n成立？若存在，求出通項c_n和正數c；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）展開式中x的系數可看成：第一個括號取2x，其余均取1，第二個括號取4x，其余均取1，…，第n個括號取2ⁿx，其余均取1，則a_n=2+4+…+2ⁿ；
（Ⅱ）由題意可得 ．從而，借助（Ⅰ）可得結論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）利用累加法求得b_n，根據條件形式可得結論；
解答：（Ⅰ）解：由題意得，，即 ．
（Ⅱ）證明：由，
得 ．
所以 ，即 ．
（Ⅲ）解：由S₁（x）=1+2x，得b₁=0．
當n≥2時，
由 ，
得 ．
當n=1時，b₁=0也適合上式，故，n∈N^*．
因此，存在正數和等比數列，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）對于任意
正整數n成立．
點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、數列求和，考查學生分析問題解決問題的能力．