Question

已知n次多項式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整數．記S_n（x）的展開式中x的系數是a_n，x²的系數是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）證明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比數列{c_n}和正數c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）對任意正整數n成立？若存在，求出通項c_n和正數c；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）展開式中x的系數可看成：第一個括號取2x，其余均取1，第二個括號取4x，其余均取1，…，第n個括號取2ⁿx，其余均取1，則a_n=2+4+…+2ⁿ；
（Ⅱ）由題意可得 Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x)．從而bn+1=bn+2n+1an，借助（Ⅰ）可得結論；
（Ⅲ）由（Ⅱ）利用累加法求得b_n，根據條件形式可得結論；

解答：（Ⅰ）解：由題意得，an=2+4+…+2n，即 an=

2(1-2n)

1-2

=2n+1-2．
（Ⅱ）證明：由Sn(x)=(1+2x)(1+4x)…(1+2nx)，
得 Sn+1(x)=(1+2n+1x)•Sn(x)．
所以 bn+1=bn+2n+1•an=bn+2n+2(2n-1)，即 bn+1-bn=2n+2(2n-1)=4n+1-2n+2．
（Ⅲ）解：由S₁（x）=1+2x，得b₁=0．
當n≥2時，
由 bn=

n

k=2

(bk-bk-1)=

n

k=2

2k+1(2k-1-1)=4[

22-22n

1-4

-

2-2n

1-2

]=4(2-2n)(1-

2+2n

3

)，
得 bn=

8

3

(2n-1-1)(2n-1)．
當n=1時，b₁=0也適合上式，故bn=

8

3

(2n-1-1)(2n-1)，n∈N^*．
因此，存在正數c=

8 3

=

2 6

3

和等比數列cn=c•2n-1=

6

3

•2n，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）對于任意
正整數n成立．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項、數列求和，考查學生分析問題解決問題的能力．