Question

已知函數(shù)f（x）=

1 4 x+1，x≤1 lnx，x＞1

，則方程f（x）=ax恰有兩個不同實(shí)數(shù)根時，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）

• A、（0，

  1

  e

  ）
• B、[

  1

  4

  ，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  4

  ）
• D、[

  1

  4

  ，e]

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，方程f（x）=ax恰有兩個不同實(shí)數(shù)根，等價于y=f（x）與y=ax有2個交點(diǎn)，又a表示直線y=ax的斜率，求出a的取值范圍．

解答：解：∵方程f（x）=ax恰有兩個不同實(shí)數(shù)根，
∴y=f（x）與y=ax有2個交點(diǎn)，
又∵a表示直線y=ax的斜率，
∴y′=

1

x

，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），k=

1

x0

，
∴切線方程為y-y₀=

1

x0

（x-x₀），
而切線過原點(diǎn)，∴y₀=1，x₀=e，k=

1

e

，
∴直線l₁的斜率為

1

e

，
又∵直線l₂與y=

1

4

x+1平行，
∴直線l₂的斜率為

1

4

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

4

，

1

e

）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)結(jié)合圖象，以及函數(shù)與方程的關(guān)系，進(jìn)行解答，是易錯題．