Question

已知函數.
（1）當a=l時，求的單調區間；
（2）若函數在上是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）令，是否存在實數a，當(e是自然對數的底數)時，函數g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）；（3）存在實數.

試題分析：（1）把代入函數解析式得，且定義域為，利用導數法可求出函數的單調區間，由，分別解不等式，，注意函數定義域，從而可求出函數的單調區間；（2）此問題利用導數法來解決，若函數在上是減函數，則其導函數在上恒成立，又因為，所以函數，必有，從而解得實數的取值范圍；（3）利用導數求極值的方法來解決此問題，由題意得，則，令，解得，通過對是否在區間上進行分類討論，可求得當時，有，滿足條件，從而可求出實數的值.
（1）當時，.    2分
因為函數的定義域為，
所以當時，，當時，.
所以函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.    4分
（2）在上恒成立.
令，有，    6分
得，.    8分
（3）假設存在實數，使有最小值3，
.  9分
當時，在上單調遞減，
，（舍去）；    10分
②當時，在上單調遞減，在上單調遞增.
，解得，滿足條件；    12分
③當時，在上單調遞減，
，（舍去）.    13分
綜上，存在實數，使得當時，有最小值3.    14分