Question

設函數f(x)=x+

a

x

（a∈R），函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于點A（1，2）對稱．
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）若關于x的方程g（x）=a有且僅有一個實數解，求a的值，并求出方程的解；
（3）若函數f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求函數g（x）的解析式，先設P（x，y）為圖象C₂上任意一點，P關于點A對稱的點為P'（x'，y'），根據對稱性求出P與P′坐標的關系，利用P'（x'，y'）在C₁上，即可求得函數g（x）的解析式；
（2）由g（x）=a得x+2+

a

x-2

=a，整理得x²-ax+（3a-4）=0接下來討論此方程解的情況：若x=2是方程①的解，則a=0，此時方程①有兩個實數解x=2和x=-2，原方程有且僅有一個實數解x=-2；若x=2不是方程①的解，則由△=a²-12a+16=0，解得a=6±2

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即可；
（3）利用函數單調性的定義求解，先設x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，因為函數f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，所以f（x₂）-f（x₁）＞0據此即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y）為圖象C₂上任意一點，P關于點A對稱的點為P'（x'，y'），
則

x+x′

2

=1，

y+y′

2

=2，于是x'=2-x，y'=4-y，（2分）
因為P'（x'，y'）在C₁上，所以y′=x′+

a

x′

，即4-y=2-x+

a

2-x

，y=x+2+

a

x-2

．
所以g(x)=x+2+

a

x-2

．（5分）
（2）由g（x）=a得x+2+

a

x-2

=a，整理得x²-ax+（3a-4）=0①（7分）
若x=2是方程①的解，則a=0，此時方程①有兩個實數解x=2和x=-2，原方程有且僅有一個實數解x=-2；（8分）
若x=2不是方程①的解，則由△=a²-12a+16=0，解得a=6±2

5

．（9分）
所以，當a=0時，方程的解為x=-2；（10分）
當a=6+2

5

時，方程的解為x=3+

5

；（11分）
當a=6-2

5

時，方程的解為x=3-

5

．（12分）
（3）設x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
因為函數f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，所以f（x₂）-f（x₁）＞0．（14分）f(x2)-f(x1)=x2+

a

x2

-x1-

a

x1

=x2-x1+

a(x1-x2)

x1x2

=(x2-x1)•

x1x2-a

x1x2

＞0，
因為x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-a＞0，即a＜x₁x₂，（16分）
而x₁x₂＞4，所以a≤4．（17分）
因此a的取值范圍是（-∞，4]．（18分）

點評：本小題主要考查函數解析式的求解及常用方法、函數單調性的性質、函數與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力與轉化思想．屬于基礎題．