Question

已知函數，.
（1）已知區間是不等式的解集的子集，求的取值范圍；
（2）已知函數，在函數圖像上任取兩點、，若存在使得恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）將不等式在區間上恒成立等價轉化為，然后利用導數
中對參數進行分類討論，確定函數在區間上的單調性，從而確定函數在區間的最小值，從而求出參數的取值范圍；（2）將不等式進行變形得到，構造函數，于是將問題轉化在區間單調遞增來處理，得到，即，圍繞對的符號進行分類討論，通過逐步構造函數對不等式進行求解，從而求出實數的取值范圍.
（1）
①當時，，在區間上為增函數
由題意可知，即，；
②當時，，解得：，
，；，，
故有：當，即：時，即滿足題意
即，構建函數，
，當時為極大值點，有，
故不等式無解；
當，即時，，即，
解得： ，；
當，即時，，即，
解得：，；
綜上所述: ；
（2）由題意可知：，可設任意兩數，
若存在使得成立，即: ，
構建函數：，為增函數即滿足題意，即恒成立即可
，構建函數，,
當時，，為增函數 
則不存在使得恒成立， 故不合題意；
當時，，可解得；
當時，可知，即為極小值點，也是最小值點，
，由于存在使得該式恒成立，
即， 由（1）可知當時，，
綜上所述的最大值為.