Question

設函數y=sinx的定義域為[a，b]，值域為[-1，

1

2

]，則以下結論中錯誤的是（　　）

• A．b-a的最小值為

  2π

  3

• B．b-a的最大值為

  4π

  3

• C．a不可能等于2kπ-

  π

  6

  ，k∈Z
• D．b不可能等于2kπ-

  π

  6

  ，k∈Z

Answer 1

分析：作出正弦函數 y=sinx的圖象，并加以觀察，并根據函數的單調性對A、B、C、D各項的結論進行推理論證，結合取特殊的a、b值檢驗，可得A、B、C都正確，而D項錯誤，由此得到答案．

解答：解：作出正弦函數 y=sinx的圖象，加以觀察得
對于A，當a=-

π

2

且b=

π

6

時，函數在區間[a，b]上單調增，
可得函數的最小值為sin（-

π

2

）=-1；函數的最大值為sin

π

6

=

1

2

此時函數的值域為[-1，

1

2

]，b-a的達到最小值

2π

3

，故A正確；．
對于B，當a=-

7π

6

且b=

π

6

時，函數在區間[a，b]上先單調遞減，
再單調遞增，
函數的最小值為sin（-

π

2

）=-1；且最大值為sin（-

7π

6

）=sin

π

6

=

1

2

，
此時函數的值域為[-1，

1

2

]，b-a的達到最大值

4π

3

，故B正確；．
對于C，如果a=2kπ-

π

6

（k∈Z），由于sina=-

1

2

沒有達到最小值1，則b≥2kπ+

3π

2

才能出現函數的最小值1，而此時函數的最大值為1而不是

1

2

，與題設矛盾
因此a不可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z），可得C正確；
對于D，當a=-

7π

6

且b=-

π

6

時，根據函數圖象可得函數的值域為[-1，

1

2

]，
說明b值可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z），故D不正確
故選：D

點評：本題給出正弦函數的幾個結論，要求找出其中的假命題，考查了正弦函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．