Question

如圖, 三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥底面ABC, ∠ACB =" 90°," E是棱CC₁上動點, F是AB中點, AC =" 1," BC =" 2," AA₁ =" 4."

(1) 當E是棱CC₁中點時, 求證: CF∥平面AEB₁;
(2) 在棱CC₁上是否存在點E, 使得二面角A—EB₁—B
的余弦值是, 若存在, 求CE的長, 若不存在,
請說明理由.

Answer 1

(1)取AB₁的中點G, 聯結EG, FG，F、G分別是棱AB、AB₁中點, 
又FG∥EC, ,  FG＝EC　四邊形FGEC是平行四邊形, 平面AEB.
(2)在棱CC₁上存在點E, 符合題意, 此時

解析試題分析：(1)證明：取AB₁的中點G, 聯結EG, FG
F、G分別是棱AB、AB₁中點, 
又FG∥EC, ,  FG＝EC　四邊形FGEC是平行四邊形,
                   4分
CF平面AEB₁, 平面AEB₁  平面AEB.        6分
(2)解：以C為坐標原點, 射線CA, CB, CC₁為軸正半軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系

則C(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B₁(0, 2, 4)
設, 平面AEB₁的法向量.
則,
由,
得     8分  
平面
是平面EBB₁的法向量,則平面EBB₁的法向量         10分
二面角A—EB₁—B的平面角余弦值為,
則解得
在棱CC₁上存在點E, 符合題意, 此時              12分
考點：線面平行的判定與二面角的求解
點評：線面平行的判定常借助于面內一直線與面外直線平行來證明，第二問求二面角主要借助了空間直角坐標系將二面角的問題轉化為兩個半平面的法向量所成角問題