Question

如圖，過(guò)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上任一點(diǎn)作直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

（1）設(shè)，證明：；

（2）設(shè)直線AB的方程是，過(guò)、兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線，求圓C的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見(jiàn)解析.（2）.

【解析】

試題分析：（1）將直線與拋物線的方程聯(lián)立，消去y，得到二次方程，應(yīng)用設(shè)而不求，整體代換思想，證明，進(jìn)而證明；（2）將直線與拋物線的方程聯(lián)立，解出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線在點(diǎn)處的切線斜率，則圓心與點(diǎn)連線的斜率為切線斜率的負(fù)倒數(shù)，得到方程①，再將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入到圓的方程中，得到方程②，解方程得到圓心坐標(biāo)及半徑，解出圓的方程.

試題解析： (1) 由題意，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得

              ①

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則是方程①的兩根，所以

由得，又點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，從而

所以

(2) 由得的坐標(biāo)分別為

拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為3.

設(shè)圓C的方程是，則

解之得

故，圓C的方程是

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，用數(shù)量積表示向量垂直.