Question

本題滿分14分) 設函數在上的導函數為，在上的導函數為．若在上，有恒成立，則稱函數在
上為“凸函數”．已知．
(Ⅰ) 若為區間上的“凸函數”，試確定實數的值；
(Ⅱ) 若當實數滿足時，函數在上總為“凸函數”，求的最大值．

Answer 1

解：由函數得， （3分）
(Ⅰ) 若為區間上的“凸函數”，則有在區間上恒成立，由二次函數的圖像，當且僅當
，
即．                                     （7分）
(Ⅱ)當時，恒成立當時，恒成立．                                                    （8分）
當時，顯然成立                      （9分）
當，∵的最小值是．∴．
從而解得                                        （11分）
當，∵的最大值是，∴，
從而解得．  
綜上可得，從而             （14分）

略