Question

如圖，設拋物線方程為x²＝2py(p＞0)，M為直線y＝－2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B．

(Ⅰ)求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數(shù)列；

(Ⅱ)已知當M點的坐標為(2，－2p)時，求此時拋物線的方程；

(Ⅲ)是否存在點M，使得點C關(guān)于直線AB的對稱點D在拋物線x²＝2py(p＞0)上，其中點C滿足(O為坐標原點)．若存在，求出所有適合題意的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

標準答案： 　　(Ⅰ)證明：由題意設． 　　由得，則， 　　所以，． 　　因此直線的方程為， 　　直線的方程為． 　　所以，　　① 　　．　　② 　　由①、②得， 　　因此，即． 　　所以三點的橫坐標成等差數(shù)列． 　　(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，當時， 　　將其代入①、②并整理得： 　　， 　　， 　　所以是方程的兩根， 　　因此，， 　　又， 　　所以． 　　由弦長公式得． 　　又，所以或， 　　因此所求拋物線方程為或． 　　(Ⅲ)解：設，由題意得， 　　則的中點坐標為， 　　設直線的方程為， 　　由點在直線上，并注意到點也在直線上， 　　代入得． 　　若在拋物線上，則， 　　因此或． 　　即或． 　　(1)當時，則，此時，點適合題意． 　　(2)當，對于，此時，， 　　又，， 　　所以， 　　即，矛盾． 　　對于，因為，此時直線平行于軸， 　　又， 　　所以直線與直線不垂直，與題設矛盾， 　　所以時，不存在符合題意的點． 　　綜上所述，僅存在一點適合題意． 　　試題分析：(Ⅰ)設要“千方百計”求得； 　　(Ⅱ)利用弦長公式求的關(guān)于的關(guān)系式，從而解出，要注意有兩條拋物線； 　　(Ⅲ)這個條件富含很多“養(yǎng)分”，如，都是源于這一重要的條件，此外還要注意分類討論． 　　高考考點：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系

提示：

解析幾何問題有很強的程序性，題目的類型也相對集中，如弦長、中點弦、動點軌跡、定點與定值、取值與最值、圓錐曲線與向量等問題，計算繁瑣但有序．只要掌握圓錐曲線的定義和性質(zhì)明確解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的思想方法，溝通知識間的橫縱聯(lián)系，借助方程與不等式以及向量工具，適當選擇數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，很多相關(guān)問題就能迎難而解．