Question

給定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*）定義使a₁•a₂…a_m為整數的正整數m叫做“好整數”，則區間（1，10³）內的所有“好整數”的和為

 

．

Answer 1

分析：用換底公式求出a₁•a₂…a_m的式子，要使此式為整數，由對數的運算性質知，真數部分應為底數的整數倍，得出真數，再用等比的前n項各公式求值．

解答：解：a₁•a₂…a_m=log₂³•log₃⁴…log_m+1^（m+2）=log₂^（m+2）
∵a₁•a₂…a_m為整數，∴m+2可以為2²，2³，…，2⁹，
∴所有“好整數”的和為2²+2³+…+2⁹-2×8=

22(1-28)

1-2

-16=1020-16=1004，
故答案為1004．

點評：此題以對數運算為平臺考查數列的求和，解決本題的關鍵是讀懂題意，得出真數取值的數列．