Question

給定a_n=log_n+1（n+2）（n∈N*），定義a₁•a₂…a_k為整數k（k∈N^*）叫做希望數，則區間[1，2009]內所有希望數的和為

2026

．

Answer 1

分析：注意到a₁，a₂，…a_k各項底數不同，可以根據換底公式：logaN=

logbN

logba

，實現a₁•a₂…a_k的化簡，轉化為

lg(k+2)

lg2

，且為整數，即k+2=2^m，k=2^m_-2
 m∈Z，令m=1，2，3，…，，可逐個求得區間[1，2009]內的所有希望數，再求和．

解答：解：根據換底公式 logaN=

logbN

logba

．
得a1a2…ak=

lg(k+2)

lg2

為整數，
∴k+2=2^m，m∈Z．k=2^m_-2
 k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，，最大值2^m-2≤2008，m最大可取10，
故和為2²+2³+…+2¹⁰-18=2026．
故答案為：2026．

點評：本題考查 對數換底公式的應用，數列求和，關鍵是把a₁•a₂…a_k化簡，再轉化為指數形式，探求希望數．