Question

若(x

x

-

1

x

)6的展開式中第五項等于

15

2

，則

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

)=（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  3

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：若(x

x

-

1

x

)6的展開式中第五項等于

15

2

，即T₅=

15

2

，由此方程求出x的值，然后再求出

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

的和，最后再求極限，選出正確選項

解答：解：∵(x

x

-

1

x

)6的展開式中第五項等于

15

2

，
∴

C

4 6

×(x

x?

)2×(-

1

x

)4=

15

2

，解得x=2
故

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+

1

x3

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

(1-

1

2n

)=1
故選A

點評：本題考查數列的極限與二項式定理，等比數列的求和公式，涉及到的知識較多，綜合性強，熟練掌握二項式的性質、數列的求和公式及求極限的法則是解答本題的關鍵，本題考查了靈活轉化的能力以及運算的能力，