Question

已知函數.
⑴ 求函數的單調區間；
⑵ 如果對于任意的，總成立，求實數的取值范圍；
⑶ 設函數，. 過點作函數圖像的所有切線，令各切點的橫坐標構成數列，求數列的所有項之和的值.

Answer 1

(1).;(2).(3).

解析試題分析：(1)利用求導的基本思路求解，注意導數的四則運算；（2）利用轉化思想將問題轉化為總成立，只需時.借助求導，研究的性質，通過對參數k的討論和單調性的分析探求實數的取值范圍；（3）化簡函數，利用導數的幾何含義求解曲線的切線方程，化簡得到，分析得到，，則這兩個函數的圖像均關于點對稱進行求解數列的所有項之和的值.
試題解析：(1) 由于，所以
.           (2分)
當，即時，；
當，即時，.
所以的單調遞增區間為，
單調遞減區間為.                         (4分)
(2) 令，要使總成立，只需時.
對求導得，
令，則，()
所以在上為增函數，所以.                       (6分)
對分類討論：
① 當時，恒成立，所以在上為增函數，所以，即恒成立；
② 當時，在上有實根，因為在上為增函數，
所以當時，，所以，不符合題意；
③ 當時，恒成立，所以在上為減函數，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實數的取值范圍是.                    (9分)
(3) 因為，所以，
設切點坐標為，則斜率為，
切線方程為，            &n