Question

已知，其中是常數(shù)．

（1）若是奇函數(shù)，求的值；

（2）求證：的圖像上不存在兩點A、B，使得直線AB平行于軸．

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2)證明見解析．

【解析】

試題分析：(1)奇函數(shù)的問題，可以根據(jù)奇函數(shù)的定義，利用來解決，由于本題中有對數(shù)符號，有根式，因此根據(jù)求出后，最好能再求出函數(shù)的定義域，驗證下它是奇函數(shù)；(2)要證明函數(shù)的圖像上不存在兩點A、B，使得直線AB平行于軸，即方程不可能有兩個或以上的解，最多只有一個解，由于表達(dá)式不太簡便，因此我們可以從簡單的方面入手試試看，看是不是單調(diào)函數(shù)，本題函數(shù)正好能根據(jù)單調(diào)性的定義證明此函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，故本題結(jié)論得證．

試題解析：（1）解法一：設(shè)定義域為,則：

因為是奇函數(shù)，所以對任意，有，    3分

得.                         5分

此時，，，為奇函數(shù)。                 6分

解法二：當(dāng)時，函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，函數(shù)不是奇函數(shù).    2分

當(dāng)時，函數(shù)的定義域是一切實數(shù).                    3分

要使得函數(shù)是奇函數(shù)，則對成立。               5分

所以                                6分

（2）設(shè)定義域內(nèi)任意，設(shè)

                  9分

當(dāng)時，總有，

，得；            11分

當(dāng)時，

，得。

故總有在定義域上單調(diào)遞增                      13分

的圖像上不存在兩點，使得所連的直線與軸平行               14分

考點：(1)函數(shù)的奇偶性；(2)函數(shù)的單調(diào)性與方程的解．