Question

設p為常數，函數f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范圍；（3）求證：x•f（x）≤0．

Answer 1

解：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）==log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=，
∵f（x）＞2，
∴，
解得-1＜x＜-，
∴f（x）＞2時x的取值范圍是（-1，-）．
（3）∵f（x）=，
∴，解得-1＜x＜1．
當-1＜x＜0時，，f（x）=＞0，
∴x•f（x）＜0；
當x=0時，=1，f（x）==0，
∴x•f（x）=0；
當0＜x＜1時，＜1，f（x）=＜0，
∴x•f（x）＜0．
綜上所述，x•f（x）≤0．
分析：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）^p，由f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）為奇函數，知f（-x）=log₂（1+x）（1-x）^p=-f（x）=，由此能求出p的值．
（2）由p=-1，知f（x）=，由f（x）＞2，，由此能求出f（x）＞2時x的取值范圍．
（3）由f（x）=的定義域為{x|-1＜x＜1}，分-1＜x＜0，x=0和0＜x＜1三種情況進行討論，證明x•f（x）≤0．
點評：本題考查對數函數的性質和應用，是中檔題．解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．