Question

已知函數(shù)，函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且
（1）求的極值；
（2）若，使得成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍：
（3）當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)于，求證：

Answer 1

（1）當(dāng)a≥0時(shí),沒(méi)有極值；當(dāng)a＜0時(shí)，取得極大值=;（2）；（3）見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）求函數(shù)定義域、導(dǎo)數(shù)，按照a≥0，a＜0兩種情況討論的符號(hào)變化，由極值定義可求得的極值；（2）先由條件求出，存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．令=，x∈（0，+∞），則問(wèn)題等價(jià)于m＜，利用基本不等式可判定導(dǎo)數(shù)研究的正負(fù)時(shí)，從而判定出函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得；（3）當(dāng)a=0時(shí)，先將具體化為，令==，利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)研究的單調(diào)性、極值，從而得出函數(shù)的圖像性質(zhì)，求出的最小值，只要證明最小值大于零即證明了.
試題解析： （1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），=（＞0）．
（i）當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，
函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故沒(méi)有極值；
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，==，
當(dāng)x∈（0，﹣）時(shí)，＞0；當(dāng)x∈（﹣，+∞）時(shí)，＜0，
∴當(dāng)x=﹣時(shí)，取得極大值=．
（2）∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)=，
∴=+c（其中c為常數(shù)）
由，得(1+c)e=e，故c=0，
∴=．
若存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．
令=，x∈（0，+∞），則問(wèn)題等價(jià)于m＜，
∴=1﹣，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，＞1，≥=，
∴＞1，故＜0，
∴在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴＜=3，故m＜3．
（3）解：當(dāng)a=0時(shí)，=lnx，
令=﹣﹣2=