Question

已知．.
（1）求函數在區間上的最小值；
（2）對一切實數，恒成立，求實數的取值范圍；
(3) 證明對一切， 恒成立．

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）見解析.

解析試題分析：（1）對于研究非常規的初等函數的最值問題，往往都需要求函數的導數.根據函數導數的正負判斷函數的單調性，利用單調性求函數在某個區間上的最值；（2）恒成立問題，一般都需要將常數和變量分離開來（分離常數法）轉化為最值問題處理；（3）證明不等式恒成立問題，往往將不等式轉化為函數來證明恒成立問題.但有些時候這樣轉化后不等會乃然很難實現證明，還需對不等式經行恒等變形以達到化簡不等式的目的，然后再證.
試題解析：⑴ ，當，，單調遞減，
當，，單調遞增．               1分
（由于的取值范圍不同導致所處的區間函數單調性不同，故對經行分類討論.）
① ，t無解；                  2分
② ，即時，         3分
③ ，即時，在上單調遞增，；
所以                     5分
由題可知:,則.因對于,恒成立，故,
設，則.
單調遞增，單調遞減.
所以，即.
問題等價于證明(為了利用第（1）小問結論，并考慮到作差做函數證明不方便，下證的最值與最值的關系.)
由（1）可知在的最小值是,當且僅當時取到.
設,則,易得,當且僅當時取到.
從而對于一切,都有恒成立.
考點：（1）含參量函數最值的討論；（2）含參恒成立問題，參數取值范圍；（3）利用倒數證明不等式.