Question

已知α∈R，sinα+2cosα=

10

2

，則tan2α=

 

．

Answer 1

分析：已知等式兩邊平方，利用完全平方公式展開，左邊分母看做“1”，利用同角三角函數間的基本關系變形，分子分母除以cos²α，得到關于tanα的方程，求出方程的解得到tanα的值，原式利用二倍角的正切函數公式化簡，將tanα的值代入計算即可求出值．

解答：解：已知等式兩邊平方得：（sinα+2cosα）²=sin²α+4sinαcosα+4cos²α=

5

2

，
變形得：

sin2α+4sinαcosα+4cos2α

sin2α+cos2α

=

tan2α+4tanα+4

tan2α+1

=

5

2

，
整理得：3tan²α-8tanα-3=0，
即（3tanα+1）（tanα-3）=0，
解得：tanα=-

1

3

或tanα=3，
當tanα=-

1

3

時，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×(- 1 3 )

1-(- 1 3 )2

=-

3

4

；
當tanα=3時，tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2×3

1-9

=-

3

4

．
故答案為：-

3

4

點評：此題考查了二倍角的正切函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．