Question

已知向量，函數
（Ⅰ）求f（x）的單調增區間；
（Ⅱ）若x∈[0，π]時，f（x）的最大值為4，求k的值．

Answer 1

解：由，
=2cos²x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x+k=2sin（2x+）+1+k．
（Ⅰ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
從而可得函數的單調增區間為[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（Ⅱ）由x∈[0，π]，2x+∈[，]，
故sin（2x+）∈[-1，1]，
f（x）的最大值為4，所以1+1+k=4，
所以k=2．
分析：直接利用向量的數量積求出函數的表達式，通過二倍角公式與兩角和的正弦函數化簡函數的表達式，
（Ⅰ）利用正弦函數的單調增區間，求出函數的單調增區間即可．
（Ⅱ）結合x的范圍，求出2x+的范圍，然后利用函數的最大值，求出k的值即可．
點評：本題考查向量的數量積，二倍角公式兩角和的正弦函數，三角函數的基本性質，考查計算能力．