Question

如圖所示，點(diǎn)A（1，0）．點(diǎn)R在y軸上運(yùn)動，T在x軸上，N為動點(diǎn)，且

RT

•

RA

=0，

RN

+

RT

=0，
（1）設(shè)動點(diǎn)N的軌跡為曲線C，求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)B（-2，0）的直線l與曲線C交于點(diǎn)P、Q，若在曲線C上存在點(diǎn)M，使得△MPQ為以PQ為斜邊的直角三角形，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)N（x，y），由題得R是TN的中點(diǎn)所以T(-x，0)，R(0，

y

2

)，代入

RT

•

RA

=0?(-X，-

y

2

)•(1，-

y

2

)=0得點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程y²=4x
（2）直線l與曲線C交于點(diǎn)P、Q所以直線l的斜率不等于0，設(shè)其為x=my-2，代入曲線C的方程y²=4x，△=16m²-32＞0，即m²＞2，因?yàn)椤鱉OQ是以PQ為斜邊的直角三角形，所以MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即(x1-

t2

4

)(x2-

t2

4

)+(y1-t)(y2-t)=0，化簡可得8+4mt+t²+16=0關(guān)于t的方程t²+4mt+24=0有實(shí)根，∴△=16m²-96≥0，又k=

1

m

所以-

6

6

≤k＜0或0＜k≤

6

6

．

解答：解：（1）設(shè)N（x，y），由

RN

+

RT

=0知：R是TN的中點(diǎn)，
則T(-x，0)，R(0，

y

2

)，

RT

•

RA

=0?(-X，-

y

2

)•(1，-

y

2

)=0
則y²=4x就是點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程：
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-2，代入曲線C的方程y²=4x，
得y²-4my+8=0，此方程有兩個不等實(shí)根，△=16m²-32＞0，即m²＞2
M在曲線C上，P、Q是直線l與曲線C的交點(diǎn)，設(shè)M(

t2

4

，t)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y₁+y₂=4m，y₁y=8，∵△MOQ是以PQ為斜邊的直角三角形，
∴MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即(x1-

t2

4

)(x2-

t2

4

)+(y1-t)(y2-t)=0
且x1=

y12

4

，x2=

y22

4

，
∴

1

16

(y12-t2)(y22-t2)+(y1-t)=0，
顯然y₁-t≠0，y₂-t≠0，
∴(y1+t)(y2+t)+16=0，y1•y2+(y1+y2)t+t2+16=0，∴8+4mt+t2+16=0t為點(diǎn)M的坐標(biāo)，
∴關(guān)于t的方程t²+4mt+24=0有實(shí)根，∴△=16m²-96≥0．
∴m²≥6，直線l的斜率k=

1

m

，∴k≠0且k2≤

1

6

，∴-

6

6

≤k＜0或0＜k≤

6

6

點(diǎn)評：本題考查了利用相關(guān)點(diǎn)代入法求曲線的方程重點(diǎn)考查三角形的形狀的構(gòu)成問題．解決此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合曲線的形狀和性質(zhì)靈活表達(dá)垂直關(guān)系．