Question

設各項都是正數的數列{a_n}滿足：對于任意的自然數n，都有．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）數列{b_n}滿足，試求數列{b_n}的最大項；
（Ⅲ）令c₁=3，c_n=3a_n-1（n≥2），，是否存在自然數c，k，使得成立？證明你的論斷．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 類比于已知Sn求a_n，寫出n+1時表達式，再兩式相減，易得．
（Ⅱ）可求得，利用作差法判定單調性，求最大項
（Ⅲ） ，再求出Sn代入表達式，解關于c，k的不定方程，探討解的情況．
解答：解：（1）由題意，知：．           ①
當n≥2時，．        ②
由①-②，知：當n≥2時，，即．    
當n=1時，log_0.5a₁=1，適合上式．
所以，數列{a_n}的通項公式是．         
（2）由（1）知：．
由，即．        
解得：7≤n≤8
因為n∈N^*，所以，n=7或8
（3）由題意，知：當n≥2時，．
又c₁=3適合上式，故數列{c_n}的通項公式為．     
所以，．                     
假設存在自然數c，k，使得成立．即．
所以，
所以，
即
所以，
因為c，k為自然數，所以，（6-c）•2^k比為整數，
所以，（6-c）•2^k=7，所以，，即k=0，c=-1，不合題意
所以，不存在自然數c，k，使得成立．
點評：本題考查等比數列定義、通項公式、求和，數列的單調性、不定方程的解．考查分析解決問題、計算、邏輯思維，分類討論的思想方法和能力．