Question

已知函數f(x)＝x3－ax－1.

(1)若a＝3時，求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

(3)是否存在實數a，使f(x)在(－1，1)上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）f(x)的單調增區間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，單調減區間為(－1，1)（2）a≤0.（3）存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，且a≥3.

【解析】(1)當a＝3時，f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3，

令f′(x)>0即3x2－3>0，解得x>1或x<－1，

∴f(x)的單調增區間為(－∞，－1)∪(1，＋∞)，

同理可求f(x)的單調減區間為(－1，1)．

(2)f′(x)＝3x2－a.

∵f(x)在實數集R上單調遞增，

∴f′(x)≥0恒成立，即3x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x2)min.

∵3x2的最小值為0，∴a≤0.

(3)假設存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，

∴f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，即a≥3x2.

又3x2∈[0，3)，∴a≥3.

∴存在實數a使f(x)在(－1，1)上單調遞減，且a≥3.