Question

已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A、B兩點，若以AB為直徑的圓經過坐標原點，求a的值．

Answer 1

分析：聯立直線和雙曲線的方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數關系求出A，B兩點的橫縱坐標的積，由以AB為直徑的圓經過坐標原點得到x₁x₂+y₁y₂=0，代入后即可求得a的值，最后驗證是否符合判別式大于0．

解答：解：聯立

y=ax+1 3x2-y2=1

，消去y得，（3-a²）x²-2ax-2=0．
由△=（-2a）²+8（3-a²）=24-4a²＞0，得-

6

＜a＜

6

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=-

2

3-a2

．
所以y₁y₂=（ax₁+1）（ax₂+1）=a²x₁x₂+a（x₁+x₂）+1
=a2•(-

2

3-a2

)+a•

2a

3-a2

+1=1．
因為以AB為直徑的圓經過坐標原點，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-

2

3-a2

+1=0，解得a=±1．
滿足-

6

＜a＜

6

．
所以a的值是±1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用數量積判斷兩個向量的垂直關系，是中檔題．