Question

根據函數單調性的定義，判斷f(x)=

ax

x2+1

（a≠0）在[1，+∞）上的單調性并給出證明．

Answer 1

分析：首先，根據函數單調性的判斷方法，在定義域內取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，然后判斷f（x₁）-f（x₂）的正負，若f（x₁）-f（x₂）＞0，則函數是減函數；若f（x₁）-f（x₂）＜0，則函數在定義域上是增函數．

解答：解：在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，（2分）
則f(x1)-f(x2)=

ax1

x 2 1 +1

-

ax2

x 2 2 +1

=a

(x1-x2)(1-x1x2)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

（6分）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＜0．（8分）
（1）當a＞0時，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的減函數；（10分）
（2）當a＜0時，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的增函數；（12分）

點評：本題是跟據函數單調性的定義判斷函數的單調性．