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已知拋物線y=x2上有一條長為2的動弦AB，則AB中點M到x軸的最短距離為
3
4
3
4
．
分析：設直線AB的方程為y=kx+b，與拋物線方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式和基本不等式即可得出．
解答：解：設直線AB的方程為y=kx+b，聯(lián)立
y=kx+b
y=x2
，化為x2-kx-b=0，
由題意可得△=k2+4b＞0．
∴x1+x2=k，x1x2=-b．
∵|AB|=
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
(1+k2)(k2+4b)
=2，
∴b=
4-k2-k4
4(1+k2)
．
AB中點M到x軸的距離=
y1+y2
2
=
x
2
1
+
x
2
2
2
=
(x1+x2)2-2x1x2
2

=
k2+2b
2
=
k2+
4-k2-k4
2(1+k2)
2

=
1
4
(k2+1+
4
1+k2
-1)≥
1
4
(2
(k2+1)•
4
k2+1
-1)=
3
4
．
當且僅當k=±1是取等號．
因此AB中點M到x軸的最短距離為
3
4
．
故答案為
3
4
．
點評：熟練掌握拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為與拋物線方程聯(lián)立得到△＞0即根與系數(shù)的關系、中點坐標公式和基本不等式等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線y=x2上的兩點A、B滿足
AP
=λ
PB
，λ＞0，其中點P坐標為（0，1），
OM
=
OA
+
OB
，O為坐標原點．
（1）求四邊形OAMB的面積的最小值；
（2）求點M的軌跡方程．

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A、（-∞，-3]B、[1，+∞）C、[-3，1]D、（-∞，-3]∪[1，+∞）

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已知拋物線y=x2上的兩點A、B滿足=l,l＞0,其中點P坐標為(0,1),=＋,O為坐標原點.

求四邊形OAMB的面積的最小值;

求點M的軌跡方程.

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