Question

已知函數的圖象在點（為自然對數的底數）處的切線斜率為3．
（Ⅰ）求實數的值；
（Ⅱ）若，且          對任意恒成立，求的最大值；
（Ⅲ）當時，證明．

Answer 1

（1）．（2）整數的最大值是3．（3）見解析

第一問中利用，，以及函數的圖像在點處的切線斜率為3，所以，得a=1
第二問中利用對任意恒成立，即對任意恒成立．構造新函數，利用導數來判定單調性求解最值。第三問中，由（2）知，是上的增函數，
所以當時，
然后分析得證。
（1）解：因為，所以．…………………1分
因為函數的圖像在點處的切線斜率為3，
所以，即．所以．……………………………2分
（2）解：由（1）知，，
所以對任意恒成立，即對任意恒成立．………………………3分
令，則，…………………………………4分
令，則，
所以函數在上單調遞增．……………5分
因為，
所以方程在上存在唯一實根，且滿足．
當，即，當，即，…6分
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增．
所以．…7分
所以．故整數的最大值是3．……8分
（3）證明1：由（2）知，是上的增函數，……………9分
所以當時，．………………10分
即．整理，得
．
因為，所以．
即．即．所以．
證明2：構造函數
，…………………………9分
則．……………………………10分
因為，所以．
所以函數在上單調遞增． 因為， 所以．
所以
．
即．
即．即．
所以．