Question

11、若二項式（1+2x）ⁿ的展開式中只有第七項的二項式系數最大，則n=

12

；此時2ⁿ⁺⁴除以7的余數是

2

．

Answer 1

分析：根據二項展開式的二項式系數的性質：展開式中中間項的二項式系數最大求出n的值；先將2^{n+4的底數寫出7+1再}利用二項式定理將二項式展開求出2ⁿ⁺⁴除以7的余數．

解答：解：∵展開式中只有第七項的二項式系數最大
∴展開式共有13項，
則n=12；
2ⁿ⁺⁴=2（7+1）⁵=2[C₅⁰7⁵+C₅¹7⁴+…+C₅⁴•7+C₅⁵]，
∴2ⁿ⁺⁴除以7的余數是2．
故答案為：12；2

點評：解決一個數除以另一個數得到的余數問題，一般先將被除數寫成底數用除數與小于除數的兩個數的和表示，然后利用二項式定理將其展開即求出所求的余數．