Question

已知函數.
（Ⅰ）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若在內恒成立，求實數的取值范圍.
（Ⅲ），求證：．

Answer 1

（Ⅰ)當時,在單調遞減,在上單調遞增;
當時,在單調遞減,在,上單調遞增;
當時,在上單調遞增;
當時,在單調遞減, 在,上單調遞增;
（Ⅱ）
（Ⅲ）詳見解析

試題分析：（Ⅰ）利用導數的符號確定函數的單調區間。函數含有參數，故需要分情況討論.
（Ⅱ）思路一、一般地若任意使得，則;若任意使得，則.由得：恒成立，所以小于等于的最小值.
思路二、除外,是的一個極值點，故可首先考慮這個特殊值.由得: ，這樣只需考慮時在內是否恒成立.這是本題的特點，需要仔細觀察、分析.若發現其特點，則運算大大簡化.所以這個題有較好的區分度.
（Ⅲ）涉及數列求和的不等式的證明，一般有兩種類型，一種是先求和，后放縮；一種先放縮，后求和.
本題顯然屬于后者.
解答題中的最后一問，往往要用前面的結論，本題也不例外.由（Ⅱ）取可得：，由此可將不等式左邊各項放縮.
但是如果第一項也用這個結論來放縮，則得不到右邊的式子.這時就考慮從第二項開始，或從第三項開始用這個結論.
試題解析：（Ⅰ）
當時,在單調遞減,在上單調遞增;
當時,在單調遞減,在,上單調遞增;
當時,在上單調遞增;
當時,在單調遞減, 在,上單調遞增.
（Ⅱ）法一、由得：
令，則
令，則即
所以由得
所以在內單調遞減，在內單調遞增.所以
從而
法二、由得:
又時, 在單調遞減,在上單調遞增
所以即:
所以若在內恒成立，實數的取值范圍為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知: 又時, 即(時取等號)
所以當時:
又,所以
．