Question

已知函數．
（1）當時，求函數的最大值；
（2）若函數沒有零點，求實數的取值范圍；

Answer 1

(1) ；（2）.

試題分析：(1)通過對函數求導，判函數的單調性，可求解函數的最大值，需注意解題時要先寫出函數的定義域，切記“定義域優先”原則;(2) 將的零點問題轉化為與圖象交點個數問題，注意函數的圖象恒過定點，由圖象知當直線的斜率為時，直線與圖象沒有交點，當時，求出函數的最大值，讓最大值小于零即可說明函數沒有零點.
試題解析：（1）當時，      2分
定義域為，令，      
∵當，當，
∴內是增函數，上是減函數
∴當時，取最大值       5分
（2）①當，函數圖象與函數圖象有公共點，
∴函數有零點，不合要求；                            7分
②當時，      8分
令，∵，
∴內是增函數，上是減函數，  10分
∴的最大值是，
∵函數沒有零點，∴，，     11分
因此，若函數沒有零點，則實數的取值范圍   12分