Question

２２.已知曲線C: , 過點Q作C的切線, 切點為P.

(1) 求證：不論怎樣變化, 點P總在一條定直線上;

(2) 若, 過點P且與垂直的直線與軸交于點T, 求的最小值(O為原點).

Answer 1

(2)

解析:

(1)設Ｐ點坐標為, 則由則以Ｐ點為切點的

切線斜率為若則不符合題意.

∵切線過點, ∴斜率為．

∴, ∴,  ∴切點Ｐ總在直線上.

(2) 解法一: ∵l的斜率為，∴ＰＴ的斜率為，

∴ＰＴ的方程為.

令,得ＰＴ與x軸交點的橫坐標為.

在(1)中, , 又∴. ∴

∴

(當且僅當, 即時等號成立).　∴的最小值為.

解法二：直線l的斜率為, 則垂線斜率為，

垂線方程為.

令, 解得與x軸的交點T的橫坐標為

當且僅當3，即時, 等號成立. ∴的最小值為.