Question

（2013•和平區二模）已知函數f（x）=lnx+x²-ax．
（I）若函數f（x）在其定義域上是增函數，求實數a的取值范圍；
（II）當a=3時，求出f（x）的極值：
（III）在（I）的條件下，若f(x)≤

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)在x∈（0，1]內恒成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為函數在定義域上為增函數，所以f′（x）大于等于0恒成立，再利用基本不等式求出左邊的最小值即可得到a的取值范圍；
（Ⅱ）先求導數，確定函數的單調區間．減區間與增區間的分界點為極值點，且當極值點左側導數為正，右側導數為負時，為極大值，當極值點左側導數為負，右側導數為正時，為極小值；
（III）設g(x)=f(x)-

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)=lnx-

1

2

x2+(3-a)x-

1

2x2

，求出函數的最大值，即可確定a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）=lnx+x²-ax（x＞0），則f′（x）=

1

x

+2x-a（x＞0）．
∵函數f（x）在（0，+∞）上是單調增函數，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即

1

x

+2x-a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴

1

x

+2x≥a．
∵當x＞0時，

1

x

+2x≥2

2

，當且僅當

1

x

=2x，即x=

2

2

時等號成立．
∴a的取值范圍是（-∞，2

2

]；
（Ⅱ）當a=3時，f′(x)=

(2x-1)(x-1)

x

(x＞0)
當0＜x＜

1

2

或x＞1時，f′（x）＞0，
當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函數，在（

1

2

，1）上是減函數，
∴f（x）_極大值=f（

1

2

）=-

5

4

-ln2，f（x）_極小值=f（1）=-2
（III）設g(x)=f(x)-

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)=lnx-

1

2

x2+(3-a)x-

1

2x2

∴g′（x）=(

1

x

-x)+(3-a)+

1

x3

∵a∈（-∞，2

2

]，且x∈（0，1]
∴g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）內為增函數
∴g（x）_max=g（1）=2-a
∵f(x)≤

1

2

(3x2+

1

x2

-6x)在x∈（0，1]內恒成立，
∴2-a≤0，解得a≥2．

點評：本題考查學生會利用導數研究函數的單調性，考查函數的極值，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．