Question

一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是兩條直角邊分別是1和2的兩個全等的直角三角形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形．
（Ⅰ）請畫出這個三棱錐的直觀圖，并求出它的體積；
（Ⅱ）以D為頂點，DD₁，DA，DC為相鄰的三條棱，作
平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知點E在AA₁上移動
（1）當E點為AA₁的中點時，證明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一點P，使得平面BC₁E∥平面PAD₁，指出P點的位置
（Ⅲ）AE為何值時，二面角C-ED₁-D的大小為45°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）三視圖復原幾何體是一條側棱垂直于底面的三棱錐，結合三視圖的數據直接求出它的體積；
（Ⅱ）以D為頂點，DD₁，DA，DC為相鄰的三條棱，作平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，已知點E在AA₁上移動
（1）當E點為AA₁的中點時，以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系如圖，通過與，證明BE⊥平面B₁C₁E．
（2）在CC₁上求一點P，A₁E=PC時，有AD₁∥BC₁使得平面BC₁E∥平面PAD₁；
（Ⅲ）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系如圖，設E（1，0，m），求出平面C-ED₁-D的法向量=（2-m，2，1），=（0，1，0），利用二面角C-ED₁-D的大小為45°求出m值．
解答：解：（Ⅰ）該三棱錐的直觀圖是有一條側棱垂直于底面的三棱錐，
如圖所示的三棱錐D₁-ACD其中底面ACD是直角邊長為1的直角三角形，高DD₁=2，故所求的體積是；
（Ⅱ）（1）當E點為AA₁的中點時，以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系如圖，則B（1，1，0），B₁（1，1，2），C₁（0，1，2），E（1，0，1），，，
所以BE⊥B₁E且BE⊥C₁E，所以BE⊥平面B₁C₁E．
（2）可知當A₁E=PC時，有AD₁∥BC₁，BE∥PD₁所以平面BC₁E∥平面PAD₁
注：也可以求兩個平面的法向量，說明兩個法向量共線即可．
（Ⅲ）以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系如圖
設E（1，0，m）則D（0，0，0），C（0，1，0）D₁（0，0，2）
=（1，-1，m），=（0，-1，2）
設向量=（x，y，z）滿足
⊥，⊥
于是解得
取z=1得=（2-m，2，1）
又=（0，1，0）
即
解得
因為m＜2所以m=2-
即時，二面角C-ED₁-D的大小為45°．
點評：本題是中檔題，考查三視圖的知識，三視圖還原幾何體，直線與平面平行與垂直的證明，二面角的求法，考查轉化思想的應用，空間想象能力，計算能力．