Question

設函數f(x)=log2(

1+x

1-ax

)（a∈R），若f(-

1

3

)=-1．
（1）求f（x）解析式并判斷其奇偶性；
（2）當x∈[-1，0）時，求f（3^x）的值域；
（3）g(x)=log

2

1+x

k

，若x∈[

1

2

，

2

3

]時，f（x）≤g（x）有解，求實數k取值集合．

Answer 1

（1）由于f(-

1

3

)=log2

1- 1 3

1+ a 3

=-1，∴

2 3

1+ a 3

=

1

2

，即

4

3

=1+

a

3

，解得a=1，
∴f(x)=log2

1+x

1-x

．
再由

1+x

1-x

＞0，求得-1＜x＜1
，∴定義域為（-1，1），定義域關于原點對稱．
再根據f(-x)=log2

1-x

1+x

=log2(

1+x

1-x

)-1=-log2

1+x

1-x

=-f（x）
∴f（x）為奇函數．-----（3分）
（2）f（x）=log2(-1-

2

x-1

)，∴f(3x)=log2(-1-

2

3x-1

)．
∵-1≤x＜0，∴-

2

3

≤3^x-1＜0，∴

2

3x-1

≤-3，即-

2

3x-1

≥3，
∴-1-

2

3x-1

≥2，∴log2(-1-

2

3x-1

)≥log22=1，
∴值域為[1，+∞）．-----（7分）
（3）∵log2

1+x

1-x

≤log

2

1+x

k

=2log2

1+x

k

=log2(

1+x

k

)2，∴

1+x

1-x

≤(

1+x

k

)2．
∵

1

2

≤x≤

2

3

，∴x+1＞0．-------（9分）
令 h（x）=1-x²，顯然h（x）在[

1

2

，

3

2

]上是減函數，∴h(x)max=h(

1

2

)=

3

4

，
∴只需k²≤

3

4

．又由g（x）定義域知k＞0，∴0＜k≤

3

2

，即k的范圍為 （0，

3

2

）．-----（13分）