Question

修建一個面積為平方米的矩形場地的圍墻，要求在前面墻的正中間留一個寬度為2米的出入口，后面墻長度不超過20米.已知后面墻的造價為每米45元，其他墻的造價為每米180元，設后面墻長度為米，修建此矩形場地圍墻的總費用為元.

（1）求的表達式；

（2）試確定，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用.

 

Answer 1

（1）；（2）若，則當時

最小總費用為（元）；若時，當時，最小總費用為（元）.

【解析】

試題分析：（1）設矩形的另一邊長為米，依題意可得列出的表達式（含）：，另一方面，進而得到，代入上式即可得到的表達式（不含）；（2）先考慮函數的單調性：在遞減，在遞增；進而針對與兩種情況進行分類討論，確定為何值時，總費用最低.

試題解析：（1）設矩形的另一邊長為米 1分

則 3分

由已知，所以 5分

（2），則，可以證明在遞減

在遞增 7分

若，即，則當時

最小總費用為（元） 10分

若，即，則當時，最小總費用為（元） 13分.

考點：函數的應用問題.