Question

現有一組互不相同且從小到大排列的數據a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0．記T=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，xn=

n

5

，yn=

1

T

(a0+a1+…+an)（n=0，1，2，3，4，5），作函數y=f（x），使其圖象為逐點依次連接點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折線．
（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；
（Ⅱ）設直線P_n-1P_n的斜率為k_n（n=1，2，3，4，5），判斷k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小關系；
（Ⅲ）證明：當x∈（0，1）時，f（x）＜x．

Answer 1

（Ⅰ）f(0)=

a0

a0+a1+a2+a3+a4+a5

=0，…（2分）
f(1)=

a0+a1+a2+a3+a4+a5

a0+a1+a2+a3+a4+a5

=1；   …（4分）
（Ⅱ）kn=

yn-yn-1

xn-xn-1

=

5

T

an，n=1，2，3，4，5．   …（6分）
因為　a₀＜a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以　k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．           …（8分）
（Ⅲ）證：由于f（x）的圖象是連接各點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，3，4，5）的折線，
要證明f（x）＜x（0＜x＜1），只需證明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．…（9分）
事實上，當x∈（x_n-1，x_n）時，f(x)=

f(xn)-f(xn-1)

xn-xn-1

•(x-xn-1)+f(xn-1)=

xn-x

xn-xn-1

f(xn-1)+

x-xn-1

xn-xn-1

f(xn)＜

xn-x

xn-xn-1

xn-1+

x-xn-1

xn-xn-1

xn=x．
下面證明f（x_n）＜x_n．
法一：對任何n（n=1，2，3，4），5（a₁+a₂+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+a₂+…+a_n）…（10分）=n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）（a₁+a₂+…+a_n）≤n（a₁+a₂+…+a_n）+（5-n）na_n…（11分）=n[a₁+a₂+…+a_n+（5-n）a_n]＜n（a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT…（12分）
所以　f(xn)=

a1+a2+…+an

T

＜

n

5

=xn．…（13分）
法二：對任何n（n=1，2，3，4），
當k_n＜1時，y_n=（y₁-y₀）+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=

1

5

(k1+k2+…+kn)＜

n

5

=xn；…（10分）
當k_n≥1時，y_n=y₅-（y₅-y_n）=1-[（y_n+1-y_n）+（y_n+2-y_n+1）+…+（y₅-y₄）]=1-

1

5

(kn+1+kn+2+…+k5)＜1-

1

5

(5-n)=

n

5

=xn．
綜上，f（x_n）＜x_n．           …（13分）