Question

20.現有一組互不相同且從小到大排列的數據：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0.為提取反映數據間差異程度的某種指標，今對其進行如下加工：記T=a₀+a₁+…a₅，x_n=，y_n=（a₀+a₁+…+a_n），作函數y=f（x），使其圖像為逐點依次連接點P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折線.

（Ⅰ）求f（0）和f（1）的值；

（Ⅱ）設P_n－1P_n的斜率為k_n（n=1，2，3，4，5），判斷k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小關系；

（Ⅲ）證明：f（x_n）<x_n（n=1，2，3，4）.

Answer 1

20.本小題主要考查函數、不等式等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：f（0）==0，

　　　f（1）==1.

（Ⅱ）解：

　　　k_n==a_n，n=1，2，…，5，

　　　因為a₁<a₂<a₃<a₄<a₅，

　　　所以k₁<k₂<k₃<k₄<k₅.

（Ⅲ）證法一：

　　　對任何n（n=1，2，3，4），

　　　5（a₁+…+a_n）=[n+（5－n）]（a₁+…+a_n）

　　　=n（a₁+…+a_n）+（5－n）（a₁+…+a_n）

  　　≤n（a₁+…+a_n）+（5－n）na_n

  　　=n[a₁+…+a_n+（5－n）a_n]

  　　<n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT，

  　　所以f（x_n）=<=x_n.

　　　證法二：

　　　對任何n（n=1，2，3，4），

　　　當k_n<1時，

　　　y_n=（y₁－y₀）+（y₂－y₁）+…+（y_n－y_n－1）

　  　　=（k₁+k₂+…+k_n）<=x_n.

　　　當k_n≥1時，

　　　y_n=y₅－（y₅－y_n）

　　　　=1－[（y_n+1－y_n）+（y_n+2－y_n+1）+…+（y₅－y₄）]

   　　=1－（k_n+1+k_n+2+…+k₅）<1－（5－n）==x_n，

　　　綜上，f（x_n）<x_n.