Question

下表為X、Y、Z三種食物每1 kg的維生素含量及每1 kg的成本.

	X	Y	Z
維生素A(單位)	400	600	400
維生素B(單位)	800	200	400
成本(元)	6	5	4

某食物營養所欲將三種食物混合成100 kg的混合物,設所用X、Y、Z的份量依次為x、y、z.

(1)試以x、y表示z;

(2)試以x、y表示混合物成本;

(3)若混合物至少需含44 000單位的維生素A及48 000單位的維生素B,證明y≥20,2x-y≥40,x+y≤100;

(4)確定使成本為最少的x、y、z的值.

Answer 1

解：(1)因為x+y+z=100,

所以z=100-x-y.

(2)混合物成本=6x+5y+4z,把(1)代入可得,混合物成本=6x+5y+4(100-x-y)=400+2x+y.

(3)因為400x+600y+400z≥44 000,把(1)代入,得y≥20.

因為800x+200y+400z≥48 000,把(1)代入,得2x-y≥40.

因為x+y+z=100,所以x+y=100-z,而z≥0,所以x+y≤100.

(4)成本=400+2x+y=400+(2x-y)+2y≥400+40+2×20=480.

當且僅當2x-y=40,y=20時,上式取等號,所以當x=30 kg,y=20 kg,z=50 kg時,成本最小.