Question

已知圓，
（Ⅰ）若過定點()的直線與圓相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若過定點()且傾斜角為的直線與圓相交于兩點，求線段的中點的坐標；
(Ⅲ) 問是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為,且以為直徑的圓經過原點？若存在，請寫出求直線的方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）求過定點直線方程，要注意斜率不存在情況是否滿足題意，本題可分類討論，也可從設法上考慮斜率不存在，即設直線的方程為：，再利用圓心到直線距離等于半徑即可求出直線方程，（Ⅱ）求圓中弦中點，一可利用幾何條件，即圓心與弦中點連線與直線垂直，從而弦中點就為直線：與連線的交點，二可利用韋達定理，根據中點坐標公式求解，（Ⅲ）以為直徑的圓經過原點，這一條件如何用，是解題的關鍵 一是利用向量垂直，二是利用圓系方程
試題解析：（Ⅰ）根據題意，設直線的方程為：
聯立直線與圓的方程并整理得：     2分
所以
從而，直線的方程為：                 4分
（Ⅱ）根據題意，設直線的方程為：
代入圓方程得：，顯然，           6分
設則
所以點的坐標為                  8分
（Ⅲ）假設存在這樣的直線：
聯立圓的方程并整理得：
當                    9分
設則
所以                           10分
因為以為直徑的圓經過原點，所以
均滿足。
所以直線的方程為：。                  13分
（Ⅲ）法二：可以設圓系方程
則圓心坐標，圓心在直線上，且該圓過原點。易得b的值。
考點：直線與圓相切，弦中點，圓方程